Question

【題目】我們稱滿足下面條件的函數y=f（x）為“ξ函數”：存在一條與函數y=f（x）的圖象有兩個不同交點（設為P（x1 ， y1）Q（x2 ， y2））的直線，y=（x）在x= 處的切線與此直線平行．下列函數：
①y= ②y=x2（x＞0）③y= ④y=lnx，
其中為“ξ函數”的是（將所有你認為正確的序號填在橫線上）

Answer 1

【答案】②③
【解析】解：（1）設一條直線l與函數y= 的圖象有兩個不同交點P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2）（x1≠x2）的直線，可得kl= =﹣ ．由于y′=﹣ ，可得y=f（x）在x= 處切線的斜率k=f′（ ）=﹣ ，可得﹣ ≠﹣ ，因此函數y= 不是ξ函數”；（2）設一條直線l與函數y=x2（x＞0）的圖象有兩個不同交點P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2）的直線，則kl= =2x=x2+x1 ，
∵y′=2x，
∴y=f（x）在x= 處的切線的斜率k=f′（ ）=2× =x1+x2 ，
∴存在一條直線l與函數y=f（x）的圖象有兩個不同交點P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2）的直線，使y=f（x）在x= 處的切線與此直線平行，
因此函數y=x2為ξ函數；
同理可判定：（3）為“ξ函數；（4）不為ξ函數．
所以答案是：②③．
【考點精析】利用函數的值域和函數的值對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知求函數值域的方法和求函數最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數的值域中存在一個最小（大）數，這個數就是函數的最小（大）值．因此求函數的最值與值域，其實質是相同的；函數值的求法：①配方法(二次或四次)；②“判別式法”；③反函數法；④換元法；⑤不等式法；⑥函數的單調性法．