Question

（2013•江西）過點（

2

，0）引直線l與曲線y=

1-x2

相交于A，B兩點，O為坐標原點，當△ABO的面積取得最大值時，直線l的斜率等于（　　）

• A．

  3

  3

• B．-

  3

  3

• C．±

  3

  3

• D．-

  3

Answer 1

分析：由題意可知曲線為單位圓在x軸上方部分（含與x軸的交點），由此可得到過C點的直線與曲線相交時k的范圍，設出直線方程，由點到直線的距離公式求出原點到直線的距離，由勾股定理求出直線被圓所截半弦長，寫出面積后利用配方法轉化為求二次函數的最值．

解答：解：由y=

1-x2

，得x²+y²=1（y≥0）．
所以曲線y=

1-x2

表示單位圓在x軸上方的部分（含與x軸的交點），
設直線l的斜率為k，要保證直線l與曲線有兩個交點，且直線不與x軸重合，
則-1＜k＜0，直線l的方程為y-0=k(x-

2

)，即kx-y-

2

k=0．
則原點O到l的距離d=

- 2 k

k2+1

，l被半圓截得的半弦長為

1-( - 2 k k2+1 )2

=

1-k2 k2+1

．
則S△ABO=

- 2 k

k2+1

•

1-k2 k2+1

=

2k2(1-k2) (k2+1)2

=

-2(k2+1)2+6(k2+1)-4 (k2+1)2

=

- 4 (k2+1)2 + 6 k2+1 -2

．
令

1

k2+1

=t，則S△ABO=

-4t2+6t-2

，當t=

3

4

，即

1

k2+1

=

3

4

時，S_△ABO有最大值為

1

2

．
此時由

1

k2+1

=

3

4

，解得k=-

3

3

．
故答案為B．

點評：本題考查了直線的斜率，考查了直線與圓的關系，考查了學生的運算能力，考查了配方法及二次函數求最值，解答此題的關鍵在于把面積表達式轉化為二次函數求最值，是中檔題．