Question

已知函數(shù)y=x+

a

x

有如下性質(zhì)：如果常數(shù)a＞0，那么該函數(shù)在(0，

a

]上是減函數(shù)，在[

a

，+∞)上是增函數(shù)．
（1）如果函數(shù)y=x+

3m

x

(x＞0)的值域是[6，+∞），求實(shí)數(shù)m的值；
（2）求函數(shù)f(x)=x2+

a

x2

（a＞0）在x∈[1，2]上的最小值g（a）的表達(dá)式．

Answer 1

（1）由已知，函數(shù)y=x+

3m

x

(x＞0)在(0，

3m

]上是減函數(shù)，在[

3m

，+∞)上是增函數(shù)，
∴ymin=

3m

+

3m

3m

=2

3m

，…（4分）
∴2

3m

=6，∴3^m=9，
∴m=2．…（6分）
（2）令x²=t，∵x∈[1，2]，
∴t∈[1，4]，f(t)=t+

a

t

，
原題即求f（t）在[1，4]上的最小值．…（7分）
1°當(dāng)

a

＞4，即a＞16時(shí)，f（t）在[1，4]上是減函數(shù)，此時(shí)g(a)=f(4)=4+

a

4

，…（9分）
2°當(dāng)1≤

a

≤2，即1≤a≤16時(shí)，g(a)=f(

a

)=2

a

，
3°當(dāng)

a

＜1，即0＜a＜1時(shí)，f（t）在[1，4]上是增函數(shù)，此時(shí)g（a）=f（1）=1+a．…（13分）
∴g（a）=

1+a，0＜a＜1 2 a ，1≤a≤16 4+ a 4 ，a＞16