Question

已知命題“對于任意x∈R，x²+ax+1≥0”是假命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：由命題“對于任意x∈R，x²+ax+1≥0”是假命題，可得其否定命題“存在x∈R，x²+ax+1＜0”為真命題，結合二次函數的圖象和性質，可求出實數a的取值范圍
解答：解：命題“對于任意x∈R，x²+ax+1≥0”的否定形式為：
“存在x∈R，x²+ax+1＜0”．（2分）
因為命題“對于任意x∈R，x²+ax+1≥0”是假命題，
所以命題“存在x∈R，x²+ax+1＜0”為真命題（3分）
由于函數f（x）=x²+ax+1是開口向上的拋物線，由二次函數的圖象易知：
△=a²-4＞0，（5分）
解得：a＜-2或a＞2（7分）
所以實數a的取值范圍是（-∞，-2）∪（2，+∞）．（8分）
點評：本題以命題的真假判斷為載體考查了全稱命題的否定，及二次不等式恒成立問題，熟練掌握二次函數的圖象和性質是解答的關鍵．