Question

已知展開式的各項依次記為a₁（x），a₂（x），a₃（x），…，a_n（x），a_n+1（x），其中
設F（x）=a₁（x）+2a₂（x）+3a₃（x）+…+na_n（x）+（n+1）a_n+1（x）
（1）若a₁（x），a₂（x），a₃（x）的系數(shù)依次成等差數(shù)列，求n的值；
（2）求證：對任意x₁，x₂∈[0，2]，恒有．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用二項展開式的通項公式，求出前三項的系數(shù)，據(jù)a₁（x），a₂（x），a₃（x）的系數(shù)依次成等差數(shù)列，列出方程，即可求出n的值．
（2）先利用到序相加法求出F（2）-F（0）的值，利用導數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，即可得證．
解答：（1）解：∵
∴a₁（x），a₂（x），a₃（x）的系數(shù)依次為=1，=，=
∵a₁（x），a₂（x），a₃（x）的系數(shù)依次成等差數(shù)列，
∴
∴n=8；
（2）證明：∵F（x）=a₁（x）+2a₂（x）+3a₃（x）+…+na_n（x）+（n+1）a_n+1（x）=+2+…+
∴F（2）=+2+…+
設S_n=+2+…+，倒序可得S_n=+…+2+
考慮到C_n^k=C_n^n-k，將以上兩式相加得：2S_n=（n+2）（C_n+C_n¹+C_n²…+C_n^n-1+C_nⁿ）
所以S_n=（n+2）2^n-1
所以F（2）-F（0）=（n+2）2^n-1-1
又當x∈[0，2]時，F(xiàn)'（x）≥0恒成立，從而F（x）是[0，2]上的單調(diào)遞增函數(shù)，
所以對任意x₁，x₂∈[0，2]，|F（x₁）-F（x₂）|≤F（2）-F（0）═（n+2）2^n-1-1＜（n+2）2^n-1．
點評：本題考查二項式定理與數(shù)列的綜合，考查等差數(shù)列，考查倒序相加法，考查學生的計算能力，屬于中檔題．