Question

某地區舉行環保知識大賽，比賽分初賽和決賽兩部分，初賽采用選用選一題答一題的方式進行，每位選手最多有5次選題答題的機會，選手累計答對3題或答錯3題即終止其初賽的比賽，答對3題直接進入決賽，答錯3次者則被淘汰，已知選手甲連續兩次答錯的概率為（已知甲回答每個問題的正確率相同，且相互之間沒有影響）
（I）求甲選手回答一個問題的正確率；
（II）求選手甲進入決賽的概率；
（III）設選手甲在初賽中的答題的個數為ξ，試求ξ的分布列，并求出ξ的數學期望．

Answer 1

解：（I）設甲答對一個問題的正確率為P₁
由題意：
所以，甲答對一個問題的正確率為…（3分）
（II）甲答了3道題進入決賽的概率為
甲答了4道題進入決賽的概率為
甲答了5道題進入決賽的概率為
故選手甲進入決賽的概率為
所以，選手甲進入決賽的概率為．…（7分）
（III）ξ的取值為3，4，5，其中



所以，ξ的分布列為
其數學期望為
分析：（I）甲答對一個問題的正確率為P₁由題意，，解方程求出正答率
（II）由題意進入決賽至少答對三道題，故進行決賽分為三類事件，答對三題入決賽，四題入決賽，五題入決賽，分別算出這三個事件的概率，求其和即可；
（III）ξ的取值為3，4，5，對應的事件分別是前三個題全部答對，前四個題答對了三個，其中第四題一定對，前五個題答對了三個，第五個一定答對，分別求出它們的概率，列出分布列，求出期望．
點評：本題考查離散型隨機變量的分布列與期望，解題的關鍵是根據概率公式求出分布列，再由求期望的公式求出期望．