Question

【題目】對于函數y=f（x），若x0滿足f（x0）=x0 ， 則稱x0為函數f（x）的一階不動點，若x0滿足f[f（x0）]=x0 ， 則稱x0為函數f（x）的二階不動點，
（1）設f（x）=2x+3，求f（x）的二階不動點．
（2）若f（x）是定義在區間D上的增函數，且x0為函數f（x）的二階不動點，求證：x0也必是函數f（x）的一階不動點；
（3）設f（x）=ex+x+a，a∈R，若f（x）在[0，1]上存在二階不動點x0 ， 求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：若f（x）=2x+3，則f[f（x）]=2（2x+3）+3=4x+9，

由f[f（x）]=x，得4x+9=x，解得x=﹣3，

∴函數f（x）=2x+3的二階不動點為x=﹣3

（2）證明：∵x0是函數f（x）的二階不動點，

∴f[f（x0]=x0，

記f（x0）=t，則f（t）=x0，

若t＜x0，則由f（x）在區間D上為增函數，

有f（t）＜f（x0），即x0＜t，這與假設t＜x0相矛盾；

若t＞x0，則由f（x）在區間D上為增函數，

有f（t）＞f（x0），即x0＞t，這與假設t＞x0相矛盾；

∴t=x0，即f（x0）=x0，

∴x0是函數f（x）的一階不動點，命題得證

（3）解：函數f（x）=ex+x+a在R上單調遞增，

則由（2）可知，若f（x）在[0，1]上存在二階不動點x0，

則f（x）在[0，1]上也必存在一階不動點x0；

反之，若f（x）在[0，1]上存在一階不動點x0，即f（x0）=x0，

那么f[f（x0]=f（x0）=x0，故f（x）在[0，1]上也存在二階不動點x0．

所以函數f（x）在[0，1]上存在二階不動點x0等價于f（x）=x在[0，1]上有解，

即方程ex+x+a=x在[0，1]上有解，

∴a=﹣ex在[0，1]上有解，

由x∈[0，1]可得ex∈[1，e]，∴﹣ex∈[﹣e，﹣1]，

∴a的取值范圍是[﹣e，﹣1]．

【解析】（1）若f（x）=2x+3，則f[f（x）]=4x+9，由f[f（x）]=x，能求出函數f（x）=2x+3的二階不動點．（2）由題意f[f（x0]=x0 ， 記f（x0）=t，則f（t）=x0 ， 若t＜x0 ， 與假設t＜x0相矛盾；若t＞x0 ， 與假設t＞x0相矛盾；從而f（x0）=x0 ， 由此能證明x0也必是函數f（x）的一階不動點．（3）函數f（x）=ex+x+a在R上單調遞增，若f（x）在[0，1]上存在二階不動點x0 ， 則f（x）在[0，1]上也必存在一階不動點x0；推導出方程ex+x+a=x在[0，1]上有解，由此能出a的取值范圍．
【考點精析】本題主要考查了函數的值的相關知識點，需要掌握函數值的求法：①配方法(二次或四次)；②“判別式法”；③反函數法；④換元法；⑤不等式法；⑥函數的單調性法才能正確解答此題．