Question

如圖所求，已知四邊形ABCD、EADM和MDCF都是邊長為a的正方形，點P、Q分別是ED和AC的中點．
求：（1）與所成的角；
（2）P點到平面EFB的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）以D為坐標原點，DA為x軸，DC為y軸，DM為z軸，建立空間直角坐標系，求出與的坐標，再利用向量的夾角公式求出兩向量所成的角；
（2）設n=（x，y，z）是平面EFB的單位法向量，根據條件建立方程組，求出n，設所求距離為d，利用d=|•n|進行求解即可．
解答：解：建立空間直角坐標系，使得D（0，0，0）、A（a，0，0）、B（a，a，0）、C（0，a，0）、M（0，0，a）、E（a，0，a）、F（0，a，a），則由中點坐標公式得P（，0，）、
Q（，，0）．
（1）∴=（-，0，），=（，-，-a），•
=（-）×+0+×（-a）=-a²，且||=a，||=a．
∴cos＜，＞===-．
故得兩向量所成的角為150°．
（2）設n=（x，y，z）是平面EFB的單位法向量，即|n|=1，n⊥平面EFB，
∴n⊥，n⊥．又=（-a，a，0），=（0，a，-a），即有得其中的一組解，
∴n=（，，），=（，0，）．
設所求距離為d，則d=|•n|=a．
點評：本題主要考查了異面直線及其所成的角，以及點、線、面間的距離計算，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎題．