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如圖所示,四邊形PCBM是直角梯形,∠PCB=90°,PM∥BC,PM=PC=AC=1,BC=2,∠ACB=120°,AB⊥PC.
①求證:平面PAC⊥平面ABC;
②求三棱錐A-MBC的體積.

【答案】分析:①由∠PCB=90°,得PC⊥CB,又AB⊥PC,利用線面垂直的判定可以證明PC⊥平面ABC,繼而得到面面垂直;
②由PC⊥平面ABC,根據面面垂直的判定可得面ABC⊥面PVBM,再由兩面垂直的性質定理可得三棱錐A-MBC的高,解直角三角形求出三棱錐A-MBC的高,則體積可求.
解答:①證明:∵∠PCB=90°,∴PC⊥CB,又PC⊥AB,且AB∩BC=B,∴PC⊥平面ABC,又PC?平面PAC,
∴平面PAC⊥平面ABC;
②∵PC⊥平面ABC,PC?平面PCBM,∴平面PCBM⊥平面ABC,
如圖,
在平面ABC中過A作AD垂直于BC的延長線與D,則AD⊥平面PCBM,則AD為三棱錐A-MBC的高,
∵∠ACB=120°,∴∠ACD=60°,在直角三角形ADC中,AD=ACsin60°=1×=
又S△BMC=S四邊形PCBM-S△MPC==

所以,三棱錐A-MBC的體積為
點評:本題主要考查了直線與平面、平面與平面垂直的判定和性質,考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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如圖所示,四邊形PCBM是直角梯形,∠PCB=90°,PM∥BC,PM=PC=AC=1,BC=2,∠ACB=120°,AB⊥PC.
①求證:平面PAC⊥平面ABC;
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