Question

設{a_n}是單調遞增的等差數列，S_n為其前n項和，且滿足4S₃=S₆，a₂+2是a₁，a₁₃的等比中項．
（I）求數列{a_n}的通項公式；
（II）是否存在m，k∈N^*，使a_m+a_m+4=a_k+2？說明理由；
（III）若數列{b_n}滿足b₁=-1，b_n+1-b_n=a_n，求數列{b_n}的通項公式．

Answer 1

【答案】分析：（I）設公差為d（d＞0），利用4S₃=S₆，a₂+2是a₁，a₁₃的等比中項，建立方程組，求出首項與公差，即可求數列{a_n}的通項公式；
（II）假設存在m，k∈N^*，使a_m+a_m+4=a_k+2，利用通項可得等式，結合m，k∈N^*，即可得到結論；
（III）利用疊加法，即可求數列{b_n}的通項公式．
解答：解：（I）設公差為d（d＞0），則
∵4S₃=S₆，a₂+2是a₁，a₁₃的等比中項，
∴
∴或
∵d＞0，∴
∴數列{a_n}的通項公式a_n=2n-1；
（II）若存在m，k∈N^*，使a_m+a_m+4=a_k+2，則2m-1+2（m+4）-1=2（k+2）-1，即2k-4m=3
∴k-2m=
∵m，k∈N^*，∴k-2m=不可能成立
∴不存在m，k∈N^*，使a_m+a_m+4=a_k+2；
（III）由題意可得b₂-b₁=1，b₃-b₂=3，b_n-b_n-1=2n-3
將上面n-1個式子相加可得b_n-b₁==（n-1）²
∵b₁=-1，∴．
點評：本題考查數列的通項，考查疊加法的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．