Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，S₂=5，a_n+1=a_n+2n+1，（n∈N^*），
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設Tn=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

，求證：nT_n≤2n-1．
（3）若數列{b_n}滿足：b_n=na_n，請寫出{b_n}的前n項和U_n的公式（只要結果，不須推導），并據此求出U₁₉的值．

Answer 1

分析：（1）根據S₂=5，a_n+1=a_n+2n+1，先求出a₁，再根據a_n+1=a_n+2n+1，利用迭加法，求出當n≥2時的通項公式，驗證n=1是否適合，從而得到數列{a_n}的通項公式；
（2）先證明當n=1時，不等式nT_n≤2n-1成立，再根據n≥2時，利用放縮法，即可證明不等式nT_n≤2n-1成立，從而證得結論；
（3）根據題意，寫出{b_n}的前n項和U_n，將n=19代入，即可求得U₁₉的值．

解答：解：（1）∵S₂=5，a_n+1=a_n+2n+1，
∴

a2=a1+3 a1+a2=5

，解得a₁=1，
∵a_n+1=a_n+2n+1，
∴a_n+1-a_n=2n+1，
∴當n≥2時，a₂-a₁=3，a₃-a₂=5，…，a_n-a_n-1=2n-1，
迭加可得，an-a1=n2-1，
∵a₁=1，
∴an=n2，
∵a1=1=12，
∴a₁也滿足上式，
∴an=n2（n∈N*）；
（2）∵Tn=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

，
①當n=1時，T1=

1

a1

=1，
∴1T₁≤2×1-1，
∴：nT_n≤2n-1；
②當n≥2時，Tn=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=

1

12

+

1

22

+…+

1

n2

＜

1

1

+

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)n

=1+(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)=2-

1

n

，
∴T_n＜2-

1

n

，
∴nT_n＜2n-1．
綜合①②可得，nT_n≤2n-1．
（3）∵bn=na n=n3，
∴Un=13+23+…+n3=[

n(n+1)

2

]2，
∴U19=[

19×20

2

]2=36100．

點評：本題考查了數列的遞推公式，數列的通項公式．求數列通項公式常見的方法有：利用等差等比數列的通項公式，利用S_n與a_n的關系，迭加法，迭乘法，構造新數列．根據具體的條件判斷該選用什么方法求解．同時考查了證明不等式，運用了放縮法證明不等式，關鍵是該如何進行放縮才能得到所要證明的不等式．屬于難題．