Question

在等比數列{a_n}中，已知a₁＞1，公比q＞0．設b_n=log₂a_n，且b₁+b₃+b₅=6，b₁•b₃•b₅=0．
（Ⅰ）求{a_n}、{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）若數列{b_n}的前n項和為S_n，試比較S_n與a_n的大小．

Answer 1

分析：（I）由等比數列的通項公式，結合b_n=log₂a_n化簡b₁•b₃•b₅=0得a₅=1且b₅=0，代入b₁+b₃+b₅=6得log₂a₁a₃=6，由此算出a₂=8，解出q=

1

2

，即可得出{a_n}、{b_n}的通項公式；
（II）由（I）的結論得b_n=5-n，從而Sn=

n(9-n)

2

，再由n的取值進行分類討論，最后綜合可得當n=1或n=2或n≥9時，S_n＜a_n；當n=3、4、5、6、7、8時，S_n＞a_n成立．

解答：解：（Ⅰ）依題意，an=a1qn-1，
∵a₁＞1，q＞0，∴數列{a_n}是單調數列，
∵b₁+b₃+b₅=log₂a₃³=6，
∴a₃³=2⁶，得a₃=4
又∵b_n=log₂a_n，b₁•b₃•b₅=0及a₁＞1
∴b₅=0，可得a₅=1．
因此a3q2=1，即q²=

1

4

，解之得q=

1

2

（舍負）．
∴an=a5qn-5=(

1

2

)n-5=25-n，b_n=log₂a_n=5-n．…6′
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：b_n=5-n，Sn=

n(b1+bn)

2

=

n(9-n)

2

．
①當n≥9時，S_n≤0，a_n＞0，此時S_n＜a_n；
②當n=1時，S_n=4且a_n=16；當n=2時，S_n=7且a_n=8．此時S_n＜a_n；
③當n=3、4、5、6、7、8時，a_n=4、2、1、

1

2

、

1

4

、

1

8

．此時S_n＞a_n
綜上所述，當n=1或n=2或n≥9時，S_n＜a_n；當n=3、4、5、6、7、8時，S_n＞a_n．…13′

點評：本題給出等比數列{a_n}滿足b_n=log₂a_n，求{b_n}的通項公式并比較{b_n}的前n項和S_n與a_n的大小．著重考查了等比數列的通項公式、對數的定義與運算性質和不等式比較大小等知識，屬于中檔題．