Question

【題目】如圖，在正方體中， 分別是線段的中點．

（1）求異面直線與所成角的大小；

（2）求直線與平面所成角的大小．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：方法一：以為原點，直線， ， 為，，軸，建立空間直角坐標系，求出直線與的方向向量，可求兩異面直線所成角，需要注意異面直線所成角范圍是。線面角只需求出直線的方向向量與平面的法向量，利用公式可求解，注意線面角范圍。方法二：異面直線所成角另一種方法就是通過平移，把兩異面直平移到同一平面。作于，聯結，有∥，故異面直線與所成的角就是（或其補角）．平面∥平面，故直線與平面所成角的大小就是直線與平面所成角．注意到平面，即平面，所以直線與平面所成角的大小即為．

試題解析：（1）方法一：設正方體棱長為，以為原點，直線， ， 為，，軸，建立空間直角坐標系，則， ， ， ，故， ， ， ，

設異面直線與所成角的大小為，向量與所成角為，則 ，注意到，故，即異面直線與所成角的大小為．

（2）由（1）可知，平面的一個法向量是，設直線與平面所成角的大小是，向量與所成角為，則

又， ，即直線與平面所成角的大小為

方法二：設正方體棱長為．

（1）在面內，作于，聯結．因為正方體

，所以∥；在面內，有∥，故異面直線與所成的角就是（或其補角）．

由已知及作圖可知， 為的中點，于是，在中，易得，

，故， ，

又，所以，從而異面直線與所成角的大小為．

（2）因為正方體，所以平面∥平面，故直線與平面所成角的大小就是直線與平面所成角．注意到平面，即平面，所以直線與平面所成角的大小即為．

在中，易得，故　，

又，故，即直線與平面所成角的大小為．

點睛:對于長方體中求線線角，線面角的問題，規則圖形用空間向量更容易解決。線線角的普通方法常用平移到同一個平面。線面角也是通過平移形成直線與平面相交，再在三角形中計算。