Question

（本題滿分14分）如圖，四棱錐的底面為矩形，且，

，，

 （Ⅰ）平面與平面是否垂直？并說明理由；

 （Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．

 

Answer 1

【答案】

（I）見解析；（Ⅱ）.

【解析】本試題主要是考查了面面垂直和線面角的求解的綜合運用。

（1）第一問中要證明面面垂直關鍵是證明線面垂直，然后利用判定定理得到。

（2）第二問先根據線面角的定義，作出線面角，然后利用直角三角形的邊角的關系求解的得到。

 

 （I）平面平面；    …………………1分

證明：由題意得且 

 又，則     …………………………3分

 則平面,                   ………………5分

 故平面平面              ………………7分

（Ⅱ）解法1：以點A為坐標原點，AB所在的直線為ｙ軸建立

空間直角坐標系如右圖示，則,, 可得,  9分

平面ABCD的單位法向量為，           ……………………………………11分

設直線PC與平面ABCD所成角為，則  13分

則，即直線PC與平面ABCD所成角的正弦值 ……………………………14分

解法2：

由（I）知平面，∵面

∴平面ABCD⊥平面PAB,                                 …………………………9分

在平面PAB內，過點P作PE⊥AB，垂足為E，則PE⊥平面ABCD，連結EC，

則∠PCE為直線PC與平面ABCD所成的角，               …………………………11分

在Rt△PEA中，∵∠PAE=60°，PA=1，∴,

又

∴ …………………………13分

在Rt△PEC中.………………14分