Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F₂，離心率為3，直線y=2與C的兩個交點間的距離為

6

．
（I）求a，b；
（II）設過F₂的直線l與C的左、右兩支分別相交于A、B兩點，且|AF₁|=|BF₁|，證明：|AF₂|、|AB|、|BF₂|成等比數列．

Answer 1

（I）由題設知

c

a

=3，即

b2+a2

a2

=9，故b²=8a²
所以C的方程為8x²-y²=8a²
將y=2代入上式，并求得x=±

a2+ 1 2

，
由題設知，2

a2+ 1 2

=

6

，解得a²=1
所以a=1，b=2

2

（II）由（I）知，F₁（-3，0），F₂（3，0），C的方程為8x²-y²=8    ①
由題意，可設l的方程為y=k（x-3），|k|＜2

2

代入①并化簡得（k²-8）x²-6k²x+9k²+8=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁≤-1，x₂≥1，x₁+x₂=

6k2

k2-8

，x1x2=

9k2+8

k2-8

，于是
|AF₁|=

(x1+3)2+y1 2

=

(x1+3)2+8x1 2-8

=-（3x₁+1），
|BF₁|=

(x2+3)2+y2 2

=

(x2+3)2+8x2 2-8

=3x₂+1，
|AF₁|=|BF₁|得-（3x₁+1）=3x₂+1，即x1+x2=-

2

3

故

6k2

k2-8

=-

2

3

，解得k2=

4

5

，從而x1x2=

9k2+8

k2-8

=-

19

9

由于|AF₂|=

(x1-3)2+y1 2

=

(x1+3)2+8x1 2-8

=1-3x₁，
|BF₂|=

(x2-3)2+y2 2

=

(x2+3)2+8x2 2-8

=3x₂-1，
故|AB|=|AF₂|-|BF₂|=2-3（x₁+x₂）=4，|AF₂||BF₂|=3（x₁+x₂）-9x₁x₂-1=16
因而|AF₂||BF₂|=|AB|²，所以|AF₂|、|AB|、|BF₂|成等比數列