Question

設(shè)命題p：?x₀∈R，ax₀-x₀+1=0成立；命題q：?x∈（0，+∞），x²-ax+1＞0成立，如果命題p或q為真命題，命題p且q為假命題，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，首先求出p、q為真時，a的取值范圍，進而分析可得，如果命題p或q為真命題，命題p且q為假命題，則p、q兩個一真一假，分p真q假與p假q真兩種情況討論，綜合可得答案．

解答：解：對于命題p：?x0∈R，a

x

2 0

-x0+1=0成立，
若P為真，則①當a=0，-x₀+1=0，x₀=1符合題意，
②當a≠0，?x0∈R，a

x

2 0

-x0+1=0?a

x

2

-x +1=0在R有解?△=1-4a≥0，
得到a≤

1

4

，a≠0
所以，命題p為真，有a≤

1

4

對于命題q：?x∈（0，+∞），x²-ax+1＞0成立??x∈(0，+∞)，a＜x+

1

x

成立x∈(0，+∞)，x+

1

x

≥2，x=1取等號
對于命題q為真，有a＜2，
如果p或q為真，p且q為假，則p、q兩個一真一假，
若p真q假，則有a≤

1

4

且a≥2，得到a∈?，
若p假q真，則有a＞

1

4

且a＜2，得到

1

4

＜a＜2；
故a的取值范圍是

1

4

＜a＜2．

點評：本題考查復合命題的真假的判斷，解題的關(guān)鍵在于正確求出p、q為真的a的取值范圍．