Question

已知函數f（x）=log₂（x+m），m∈R
（ I）若f（1），f（2），f（4）成等差數列，求m的值；
（ II）若a、b、c是兩兩不相等的正數，且a、b、c依次成等差數列，試判斷f（a）+f（c）與2f（b）的大小關系，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）把x=1，2及4代入函數解析式，表示出f（1），f（2），及f（4），由f（1），f（2），f（4）成等差數列，根據等差數列的性質列出股關系式，利用對數的運算法則化簡，即可求出m的值；
（2）f（a）+f（c）小于2f（b），理由為：根據a、b、c是兩兩不相等的正數，且a、b、c依次成等差數列，設出公差為d，用b和d表示出a及c，要比較f（a）+f（c）與2f（b）的大小關系，可利用作差法進行，方法是表示出f（a）+f（c）-2f（b），利用對數的運算法則化簡后，真數的分子減分母利用多項式的乘法法則整理后，將表示出的a與c代入，根據d不為0，得到完全平方式大于0，可得其差小于0，即分子小于分母，可得真數小于1大于0，根據底數為2，利用對數函數的圖象與性質可得對數值小于0，即f（a）+f（c）-2f（b）小于0，即可得證．

解答：解：（1）因為f（1），f（2），f（4）成等差數列，所以2f（2）=f（1）+f（4），
即：2log₂（2+m）=log₂（1+m）+log₂（4+m），即log₂（2+m）²=log₂（1+m）（4+m），得
（2+m）²=（1+m）（4+m），得m=0．
（2）若a、b、c是兩兩不相等的正數，且a、b、c依次成等差數列，
設a=b-d，c=b+d，（d不為0）；
f（a）+f（c）-2f（b）=log₂（a+m）+log₂（c+m）-2log₂（b+m）=log₂

(a+m)(c+m)

(b+m)2

因為（a+m）（c+m）-（b+m）²=ac+（a+c）m+m²-（b+m）²=b²-d²+2bm+m²-（b+m）²=-d²＜0
所以：0＜（a+m）（c+m）＜（b+m）²，
得0＜

(a+m)(c+m)

(b+m)2

＜1，得log₂

(a+m)(c+m)

(b+m)2

＜0，
所以：f（a）+f（c）＜2f（b）．

點評：此題考查了等差數列的性質，對數的運算性質，以及等差數列的通項公式，利用了轉化的思想，其中第二問比較大小的方法是作差法，此方法是比較大小經常運用的方法，應熟練掌握．