Question

在（1+x+x²）（1-x）¹⁰的展開(kāi)式中，含x⁴的系數(shù)為     ．

Answer 1

【答案】分析：先將多項(xiàng)式展開(kāi)，轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式系數(shù)的和差，利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出各項(xiàng)系數(shù)即可．
解答：解：∵（1+x+x²）（1-x）¹⁰=（1-x）¹⁰+x（1-x）¹⁰+x²（1-x）¹⁰
∴（1+x+x²）（1-x）¹⁰展開(kāi)式中含x⁴的系數(shù)為
（1-x）¹⁰的含x⁴的系數(shù)加上其含x³的系數(shù)加上其含x²項(xiàng)的系數(shù)
∵（1-x）¹⁰展開(kāi)式的通項(xiàng)為T_r+1=C₁₀^r（-x）^r
令r=4，3，2分別得展開(kāi)式含x⁴，x³，x²項(xiàng)的系數(shù)為C₁₀⁴，-C₁₀³，C₁₀²
故（1+x+x²）（1-x）¹⁰展開(kāi)式中含x⁴的系數(shù)為
C₁₀⁴-C₁₀³+C₁₀²=135，
故答案為135
點(diǎn)評(píng)：本題考查等價(jià)轉(zhuǎn)化能力及利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式解決二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)問(wèn)題．