Question

【題目】如圖所示，已知兩個正方形ABCD和DCEF不在同一平面內，M，N分別為AB，DF的中點．

(1)若平面ABCD⊥平面DCEF，求直線MN與平面DCEF所成角的正弦值；

(2)用反證法證明：直線ME與BN是兩條異面直線．

Answer 1

【答案】(1) .(2) 見解析.

【解析】(1)解:取CD的中點G,

連結MG,NG.

因為四邊形ABCD,DCEF為正方形,

且邊長為2,

所以MG⊥CD,MG=2,NG=.

因為平面ABCD⊥平面DCEF,

所以MG⊥平面DCEF.可得MG⊥NG.

所以MN==.

(2)證明:假設直線ME與BN共面,

則AB平面MBEN,且平面MBEN與平面DCEF交于EN.

由題意知兩正方形不共面,故AB平面DCEF.

又AB∥CD,所以AB∥平面DCEF,

而EN為平面MBEN與平面DCEF的交線,

所以AB∥EN.

又AB∥CD∥EF,所以EN∥EF,

這與EN∩EF=E矛盾,故假設不成立.

所以ME與BN不共面,它們是異面直線.