Question

【題目】已知橢圓E：的離心率為，且過點

求橢圓E的方程；

設直線與橢圓E交于A、B兩點，與x軸、y軸分別交于C、D兩點且C、D在A、B之間或同時在A、B之外問：是否存在定值k，使得的面積與的面積總相等，若存在，求k的值，并求出實數m取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）存在定值，實數m取值范圍為．

【解析】

由橢圓E：的離心率為，且過點列式計算出a，b即可．

聯立直線與橢圓方程，消去y得，通過得設，，利用韋達定理求出，由題意，不妨設設，，通過的面積與的面積總相等轉化為線段AB的中點與線段CD的中點重合，求出k，即可得到結果．

依題意可得，

橢圓方程為：；

聯立，消去y，可得，

，

由，可得，

設，，則，

由題意可設，，

的面積與的面積相等恒成立

線段AB的中點和線段CD中點重合．

即有，解得，

由且，可得或．

即存在定值，都有的面積與的面積相等．

此時，實數m取值范圍為．