Question

（2012•朝陽區一模）已知函數f(x)=

( 1 2 )x+ 3 4 x≥2 log2x0＜x＜2

，則f（f（2））=

0

；函數g（x）=f（x）-k恰有兩個零點，則實數k的取值范圍是

(

3

4

，1)

．

Answer 1

分析：先根據分段函數求出f（2），再求出f（x（2））即得；由f（x）-k=0得f（x）=k，設y=f（x），y=k，分別畫出這兩個函數的圖象，欲使g（x）=f（x）-k恰有兩個零點，結合圖可求得實數k的取值范圍．

解答：解：由于當x=2時，f（2）=(

1

2

)2+

3

4

=1，
∴f（f（2））=f（1）=log₂1=0．
由f（x）-k=0得f（x）=k，設y=f（x），y=k，分別畫出這兩個函數的圖象，如圖所示．
觀察圖象可知，當實數k的取值范圍是 (

3

4

，1)時，直線y=k與函數y=f（x）的圖象有且只有兩個交點，即函數g（x）=f（x）-k恰有兩個零點，
故答案為0；(

3

4

，1)．

點評：本題主要考查函數的零點以及數形結合方法，數形結合是數學解題中常用的思想方法，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數學問題的本質；另外，由于使用了數形結合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷．