Question

若對任意的實數x都有log_a（2+e^x-1）≤-1，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：先對a進行分類討論：當a＞1時，由log_a（2+e^x-1）≤-1，不可能對任意的實數x恒成立；當0＜a＜1時，由log_a（2+e^x-1）≥-1，得出2+e^x-1的最小值≥

1

a

，從而求得a的取值范圍．

解答：解：當a＞1時，由log_a（2+e^x-1）≤-1，得：
2+e^x-1≤

1

a

，由于2+e^x-1→+∞，故2+e^x-1≤

1

a

，不可能對任意的實數x恒成立；
當0＜a＜1時，由log_a（2+e^x-1）≥-1，得：
2+e^x-1≥

1

a

，
故2+e^x-1的最小值≥

1

a

，即

1

a

≤3，
∴a≥

1

3

，
∴

1

3

≤a＜1．
故答案為：

1

3

≤a＜1．

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，化歸與轉化思想．屬于基礎題．