Question

已知函數f（x）=alnx﹣ax﹣3（a＜0）．

（1）求函數f（x）的單調區間；

（2）若函數y=f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，對于任意的t∈[0，1]，函數g（x）=x3+x2[f′（x）+m]在區間（t，2）上總不是單調函數，其中f′（x）為f（x）的導函數，求實數m的取值范圍．

 

Answer 1

（1）的單調遞增區間為（1，＋∞），單調遞減區間為（0,1]；（2）．

【解析】

試題分析：

解題思路：（1）求導，利用導數的正負確定函數的單調區間；（2）求導，利用零點存在定理判定在總存在零點.

規律總結：利用導數研究函數的單調性、極值、最值及與函數有關的綜合題，都體現了導數的重要性；此類問題往往從求導入手，思路清晰；但綜合性較強，需學生有較高的邏輯思維和運算能力.

試題解析：（1）根據題意知，，

當時，的單調遞增區間為（1，＋∞），單調遞減區間為（0,1]．

（2）∵，∴，

∴.

∴，

∴.

∵在區間上總不是單調函數，且，

∴

由題意知：對于任意的，恒成立，

∴

∴.

考點：1.函數的單調性；2.函數的單調性的逆用.