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已知函數f(x)=alnx﹣ax﹣3(a<0).

(1)求函數f(x)的單調區間;

(2)若函數y=f(x)的圖象在點(2,f(2))處的切線的傾斜角為45°,對于任意的t∈[0,1],函數g(x)=x3+x2[f′(x)+m]在區間(t,2)上總不是單調函數,其中f′(x)為f(x)的導函數,求實數m的取值范圍.

 

(1)的單調遞增區間為(1,+∞),單調遞減區間為(0,1];(2)

【解析】

試題分析:

解題思路:(1)求導,利用導數的正負確定函數的單調區間;(2)求導,利用零點存在定理判定總存在零點.

規律總結:利用導數研究函數的單調性、極值、最值及與函數有關的綜合題,都體現了導數的重要性;此類問題往往從求導入手,思路清晰;但綜合性較強,需學生有較高的邏輯思維和運算能力.

試題解析:(1)根據題意知,

時,的單調遞增區間為(1,+∞),單調遞減區間為(0,1].

(2)∵,∴,

.

,

.

在區間上總不是單調函數,且

由題意知:對于任意的,恒成立,

.

考點:1.函數的單調性;2.函數的單調性的逆用.

 

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