Question

已知數列{a_n}滿足a₁=1，a₂=3，a_n+2=3a_n+1-2a_n（n∈N^*）．
（I）證明：數列{a_n+1-a_n}是等比數列；
（II）求數列{a_n}的通項公式；
（III）若數列{b_n}滿足，證明{b_n}是等差數列．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用等比數列的定義，構造進行證明．
（II）利用（I）可先求a_n+1-a_n=2ⁿ，利用疊加法可得a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁，從而可求a_n
（III）由已知可得2[b₁+b₂+…+b_n-n=nb_n，利用遞推公式可得2[（b₁+b₂+…+b_n+b_n+1）-（n+1）]=（n+1）b_n+1結合兩式可證．
解答：解：（I）證明：∵a_n+2=3a_n+1-2a_n，
∴a_n+2-a_n+1=2（a_n+1-a_n），
∵a₁=1，a₂=3，
∴．
∴{a_n+1-a_n}是以a₂-a₁=2為首項，2為公比的等比數列．
（II）解：由（I）得a_n+1-a_n=2ⁿ（n∈N^*），
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）++（a₂-a₁）+a₁
=2^n-1+2^n-2++2+1
=2ⁿ-1（n∈N^*）．
（III）證明：∵，
∴=
∴2[（b₁+b₂+…+b_n）-n]=nb_n，①
2[（b₁+b₂+…+b_n+b_n+1）-（n+1）]=（n+1）b_n+1．②
②-①，得2（b_n+1-1）=（n+1）b_n+1-nb_n，
即（n-1）b_n+1-nb_n+2=0．③
nb_n+2-（n+1）b_n+1+2=0．④
④-③，得nb_n+2-2nb_n+1+nb_n=0，
即b_n+2-2b_n+1+b_n=0，∴b_n+2-b_n+1=b_n+1-b_n（n∈N^*），
∴{b_n}是等差數列．
點評：本小題主要考查數列、不等式等基本知識的綜合運用，考查化歸的數學思想方法在解題中的運用，考查綜合解題能力．