Question

如圖，在直三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，CB=1，，M為側棱CC₁上一點，AM⊥BA₁.

   （1）求證：AM⊥平面A₁BC；

   （2）求二面角B AM C的大小；

   （3）求點C到平面ABM的距離.

Answer 1

證明：（I）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，易知面ACC₁A₁⊥面ABC，

    ∵∠ACB = 90°，

∴BC⊥面ACC₁A₁，                                                                          

∵AM面ACC₁A₁

∴BC⊥AM

∵AM⊥BA₁，且BC∩BA₁=B

∴AM⊥平面A₁BC                                                                             

   （II）設AM與A₁C的交點為O，連結BO，由（I）可知AM⊥OB，且AM⊥OC，所以∠BOC為二面角B AM C的平面角                                                                                                        

 在Rt△ACM和Rt△A₁AC中，∠OAC +∠ACO=90°，

    ∴∠AA₁C =∠MAC

∴Rt△ACM∽Rt△A₁AC

∴AC² = MC?AA₁

                                                                                   

，故所求二面角的大小為45°                                   

   （III）設點C到平面ABM的距離為h，易知BO=，

可得                                

∴點C到平面ABM的距離為                                                        

解法二：（I）同解法一

   （II）如圖以C為原點，CA，CB，CC₁所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，則

   

    即                              

    設向量，則

    的平面AMB的一個法向量為

    是平面AMC的一個法向量                 

   

    易知，所夾的角等于二面角B AM C的大小，故所求二面角的大小為45°

   （III）向量即為所求距離    

                                                                      

∴點C到平面ABM的距離為。