Question

如圖，已知過點D(-2，0)的直線l與橢圓+y²＝1交于不同的兩點A、B，點M是弦AB的中點.

(1)若=+，求點P的軌跡方程；

(2)求的取值范圍.

Answer 1

解：(1)設直線l的方程為y=k(x+2)，P(x，y)，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，        

由得(1+2k²)x²+8k²x+8k²-2=0.                                 

∴Δ=64k⁴-4(1+2k²)(8k²-2)＞0.∴0≤k²＜.                                  

∵=+，

∴x=x₁+x₂=-，y=y₁+y₂=k(x₁+x₂+4)=，                 

消去k,得x²+2y²+4x=0.                                                     

又x=-=-4+∈(-2,0]，

∴點P的軌跡方程為x²+2y²+4x=0(-2＜x≤0).                               

(2)=                  

=.                               

∵0≤k²＜，∴∈［,+∞).