Question

已知sin（2α+β）=3sinβ，設tanα=x，tanβ=y，記y=f（x），
（1）求f（x）的解析表達式；
（2）若α角是一個三角形的最小內角，試求函數f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）把已知條件等號左邊2α+β變為（α+β）+α，把等號右邊β變為（α+β）-α，然后兩邊分別利用兩角和與差的正弦函數公式化簡，合并后把弦化為切得到tan（α+β）=2tanα，再把等號左邊利用兩角和的正切函數公式化簡后，把tanα=x，tanβ=y代入即可得到y與x的表達式；（2）由α是三角形的最小內角得到α大于0小于等于

π

3

，則tanα=x就大于0小于等于

3

，得到f（x）大于0，可設g(x)=2x+

1

x

，利用基本不等式求出g（x）的最小值，即為f（x）的最大值，即可得到f（x）的值域．

解答：解：（1）由sin（2α+β）=3sinβ，得sin[（α+β）+α]=3sin[（α+β）-α]，
sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα=3sin（α+β）cosα-3cos（α+β）sinα，
∴sin（α+β）cosα=2cos（α+β）sinα，
∴tan（α+β）=2tanα，
由tanα=x，tanβ=y，則

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=2tanα，即

x+y

1-xy

=2x，
∴y=

x

1+2x2

，即f（x）=

x

1+2x2

．
（2）∵α角是一個三角形的最小內角，∴0＜α≤

π

3

，0＜x≤

3

，
設g(x)=2x+

1

x

，則g(x)=2x+

1

x

≥2

2

（當且僅當x=

2

2

時取等號），
故函數f（x）的值域為(0，

2

4

]．

點評：考查學生靈活運用兩角和與差的正弦、余弦函數公式化簡求值，會利用基本不等式求函數的最值，會求函數的值域．此題的突破點是角度的變換．