Question

已知tanα=-

1

3

，α∈(

π

2

，π)．
（1）化簡

sin2α-cos2α

1+cos2α

，并求值．
（2）若β∈（

π

2

，π），且cos（α+β）=-

12

13

，求sin（α+β）及cosβ的值．

Answer 1

分析：（1）直接利用二倍角公式化簡即可，并將值代入求出結果；
（2）根據角的范圍以及同角三角函數間的基本關系求出sin（α+β）的值，以及sinα、cosα的值，進而由cosβ=cos[（α+β）-α]利用兩角和與差公式展開，并將相應的值代入即可．

解答：解：（1）

sin2α-cos2α

1+cos2α

=

2sinαcosα-cos2α

2cos2α

=tanα-

1

2

=-

5

6

（2）∵α∈（

π

2

，π），β∈（

π

2

，π）
∴α+β∈（π，2π），又cos（α+β）=-

12

13

，
∴α+β∈（π，

3

2

π），
∴sin（α+β）=-

1-cos2(α+β)

=-

5

13

由tanα=-

1

3

，α∈（

π

2

，π），得sinα=

10

10

，cosα=-

3 10

10

cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=(-

12

13

)(-

3 10

10

)-

5

13

•

10

10

=

31 10

130

點評：本題考查兩角和與差的公式，同角三角函數間的基本關系，運用誘導公式化簡求值，考查計算能力，是基礎題．