Question

在直角坐標系xOy中，點P到兩點(0，-

3

)、(0，

3

)的距離之和等于4，設點P的軌跡為曲線C，直線 y=kx+1與曲線C交于A、B兩點．
（Ⅰ）寫出曲線C的方程；
（Ⅱ）若

OA

⊥

OB

，求實數k的值；
（Ⅲ）若k＞0，求△OAB面積的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據點P到兩點(0，-

3

)、(0，

3

)的距離之和等于4，由橢圓定義可知，點P的軌跡C是以(0，-

3

)、(0，

3

)為焦點，長半軸為2的橢圓，由此可求曲線C的方程；
（Ⅱ）設

OA

=（x₁，y₁），

OB

=（x₂，y₂），利用

OA

⊥

OB

，可得x₁x₂+y₁y₂=0，把y=kx+1代入橢圓方程，消去y可得（4+k²）x²+2kx-3=0，根據韋達定理，即可求實數k的值；
（Ⅲ）表示出△OAB面積，換元，利用函數的單調性，即可確定△OAB面積的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）設P（x，y），∵點P到兩點(0，-

3

)、(0，

3

)的距離之和等于4
∴由橢圓定義可知，點P的軌跡C是以(0，-

3

)、(0，

3

)為焦點，長半軸為2的橢圓，
∴短半軸b=1
∴曲線C的方程為x2+

y2

4

=1；
（Ⅱ）設

OA

=（x₁，y₁），

OB

=（x₂，y₂），
∵

OA

⊥

OB

，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴x₁x₂+（kx₁+1）（kx₂+1）=0，
（x₁x₂）（1+k²）+k（x₁+x₂）+1=0，（1）
把y=kx+1代入橢圓方程，消去y可得（4+k²）x²+2kx-3=0，
根據韋達定理，x₁+x₂=-

2k

4+k2

，x₁x₂=-

3

4+k2

，
代入（1）式，可得（-

3

4+k2

）（1+k²）+k×（-

2k

4+k2

）+1=0
∴k²=

1

4

，∴k=±

1

2

；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，x₁+x₂=-

2k

4+k2

，x₁x₂=-

3

4+k2

，
∴|x₁-x₂|=

(- 2k 4+k2 )2+4× 3 4+k2

=

16k2+48 (4+k2)2

∴△OAB面積S=

1

2

×1×|x₁-x₂|=2

k2+3 (4+k2)2

令k²+3=t（t＞3），則

k2+3 (4+k2)2

=

t (t+1)2

=

1 t+ 1 t +2

∵t＞3，∴t+

1

t

＞

10

3

，∴t+

1

t

+2＞

16

3

，∴0＜

1 t+ 1 t +2

＜

3

4

∴0＜S＜

3

2

．

點評：本題考查軌跡方程，考查向量知識的運用，考查直線與橢圓的位置關系，考查三角形面積的計算，考查學生的計算能力，屬于中檔題．