Question

如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)，G分別為A₁B₁、B₁C₁、C₁D₁的中點(diǎn)．
（1）求異面直線AG與BF所成角的余弦值；
（2）求證：AG∥平面BEF；
（3）試在棱BB₁上找一點(diǎn)M，使DM⊥平面BEF，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，可得

AG

=(-1，

1

2

，1)，

BF

=(-

1

2

，0，1)，進(jìn)而利用向量的有關(guān)運(yùn)算計算出兩個向量的夾角，再轉(zhuǎn)化為兩條異面直線的夾角．
（2）利用向量的關(guān)系可得：

AG

=

EF

+

BF

，所以

AG

與平面BEF共面，再根據(jù)線面平行的判定定理可得答案．
（3）因為DM⊥平面BEF，所以

DM

•

EF

=0，

DM

•

BF

=0，進(jìn)而求出m的數(shù)值得到答案．

解答：解：（1）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD₁分別作為x軸，y軸和z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（1，0，0），B（1，1，0），E(1，

1

2

，1)，F(

1

2

，1，1)，G(0，

1

2

，1)，
∴

AG

=(-1，

1

2

，1)，

BF

=(-

1

2

，0，1)，
∴cos＜

AG

，

BF

＞=

3 2

3 2 • 5 2

=

2 5

5

故異面直線AG與BF所成角的余弦值為

2 5

5

．
（2）∵

EF

=(-

1

2

，

1

2

，0)，

BF

=(-

1

2

，0，1)，
而

AG

=(-1，

1

2

，1)，∴

AG

=

EF

+

BF

，
故

AG

與平面BEF共面，
又因為AG不在平面BEF內(nèi)，
∴AG∥平面BEF．
（3）設(shè)M（1，1，m），則

DM

=(1，1，m)
由

DM

•

EF

=0，

DM

•

BF

=0，
∴-

1

2

+m=0?m=

1

2

，
所以M為棱BB₁的中點(diǎn)時，DM⊥平面BEF．

點(diǎn)評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，建立空間直角坐標(biāo)系以便利用向量的有關(guān)知識解決線面關(guān)系與空間角等問題．