Question

在三棱錐S-ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=

13

，SB=

29

．
（1）求證：SC⊥BC；
（2）求SC與AB所成角的余弦值．

Answer 1

分析：解法一：建系，寫出有關點的坐標，B，C，s，（1）要證SC⊥BC；只要證EF⊥面PAB，只要證）

SC

•

CB

=0即可；
（2）要求異面直線SC與AB所成的角的余弦值，只要求

SC

與

AB

所成角的余弦值即可；
解法二：綜合法證明，（1）要證SC⊥BC，只要證AC⊥BC即可；
（2）要求SC與AB所成角的余弦值，通過平移找到SC與AB所成角，解三角形即可．

解答：解法一：如圖，取A為原點，AB、AS分別為y、z軸建立空間直角坐標系，
∵AC=2，BC=

13

，SB=

29

，∴B（0，

17

，0）、S（0，0，2

3

）、C（2

13 17

，

4

17

，0），

SC

=（2

13 17

，

4

17

，-2

3

），

CB

=（-2

13 17

，

13

17

，0）．
（1）∵

SC

•

CB

=0，∴SC⊥BC．
（2）設SC與AB所成的角為α，
∵

AB

=（0，

17

，0），

SC

•

AB

=4，|

SC

||

AB

|=4

17

，
∴cosα=

17

17

，即為所求．

解法二：（1）∵SA⊥面ABC，AC⊥BC，AC是斜線SC在平面ABC內的射影，∴SC⊥BC．
（2）如圖，過點C作CD∥AB，過點A作AD∥BC交CD于點D，
連接SD、SC，則∠SCD為異面直線SC與AB所成的角．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，CD=

17

，SA=2

3

，SD=

SA2+AD2

=

12+13

=5，
∴在△SDC中，由余弦定理得cos∠SCD=

17

17

，即為所求．

點評：考查利用空間向量證明垂直和求夾角和距離問題，以及面面垂直的判定定理，體現(xiàn) 了轉化的思想方法，l利用綜合法求異面直線所成的角，關鍵是找出這個角，把空間角轉化為平面角求解，體現(xiàn)了轉化的思想，屬中檔題．