Question

已知一條不在y軸左側的曲線E上的每個點到A（1，0）的距離減去它到y軸的距離差都是1．
（1）求曲線E的方程；
（2）已知曲線E的一條焦點弦被焦點分成長為m、n兩部分，試判斷

1

m

+

1

n

是否為定值，若是求出定值并加以證明，若不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意及拋物線的定義可判斷曲線E為以點A為焦點的拋物線，從而可得其方程；
（2）幾何法：當焦點垂直x軸時易求

1

m

+

1

n

的值；當焦點不垂直x軸時，作出示意圖，利用拋物線定義及三角形相似可得m，n間的關系式，化簡后整理即可得到

1

m

+

1

n

的值，綜上可得結論．

解答：解：（1）由曲線E上的每個點到A（1，0）的距離減去它到y軸的距離差都是1，知曲線E上的點到A的距離等于到x=-1的距離，
所以曲線E為以A為焦點、x=-1為準線的拋物線，
所以曲線E的方程為：y²=4x；
（2）

1

m

+

1

n

是定值為1，證明如下：
當焦點弦垂直x軸時，把x=-1代入拋物線方程y²=4x，得y═±2，
所以此時m=n=2，故

1

m

+

1

n

=

1

2

+

1

2

=1；
當焦點弦不垂直x軸時，如下圖所示：

不妨設MF=m，NF=n，且m＞n，則PM=m，QN=n，設NR交x軸與S，則SF=2-n，RM=m-n，
在Rt△MNR中，由三角形相似得

SF

RM

=

NF

NM

，即

2-n

m-n

=

n

m+n

，即（2-n）（m+n）=n（m-n），
所以（m+n）=mn，兩邊同除以mn得

1

m

+

1

n

=1，即為定值1．
綜上，

1

m

+

1

n

為定值1．

點評：本題考查函數與方程的綜合運用，考查拋物線的定義及直線與圓錐曲線的位置關系，要認真體會幾何圖形在本題中的應用．