Question

已知函數f（x）=sin

x

3

cos

x

3

+

3

cos²

x

3

．
（1）將f（x）寫成Asin（ωx+φ）+h（A＞0）的形式，并求其圖象對稱中心的橫坐標；
（2）若x∈(0，

π

3

]求函數的值域．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角的三角函數公式，結合輔助角公式化簡整理得：f（x）=sin（

2x

3

+

π

3

）+

3

2

．再

2x

3

+

π

3

=kπ（k∈Z），解出x=-

π

2

+

3

2

kπ，即得函數f（x）圖象的對稱中心橫坐標．
（2）當x∈(0，

π

3

]時，可得

2x

3

+

π

3

∈（

π

3

，

5π

9

]，由此結合正弦函數的圖象與性質，即可得到函數當x∈(0，

π

3

]時的值域．

解答：解：（1）∵sin

x

3

cos

x

3

=

1

2

sin

2x

3

，cos²

x

3

=

1

2

（1+cos

2x

3

）
∴f（x）=sin

x

3

cos

x

3

+

3

cos²

x

3

=

1

2

sin

2x

3

+

3

2

（1+cos

2x

3

）=sin（

2x

3

+

π

3

）+

3

2

令

2x

3

+

π

3

=kπ（k∈Z），解之得x=-

π

2

+

3

2

kπ（k∈Z）
∴函數f（x）圖象的對稱中心橫坐標為-

π

2

+

3

2

kπ（k∈Z）．
（2）∵x∈(0，

π

3

]，∴

2x

3

+

π

3

∈（

π

3

，

5π

9

]
因此，

3

2

＜sin（

2x

3

+

π

3

）≤1，可得

3

＜sin（

2x

3

+

π

3

）+

3

2

≤1+

3

2

即函數當x∈(0，

π

3

]時的值域為（

3

，1+

3

2

]．

點評：本題給出三角函數表達式，求函數圖象的對稱中心并求閉區間上的值域，著重考查了二倍角的三角函數公式、輔助角公式和正弦函數的圖象與性質等知識，屬于中檔題．