Question

【題目】橢圓的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)且與軸垂直的直線被橢圓截得的弦長為．

（1）求橢圓的方程；

（2）過點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求的面積．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由題意可知點(diǎn)在橢圓上，利用橢圓的定義可求得值，結(jié)合的值可求得的值，進(jìn)而可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)、，設(shè)直線的方程為，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，由得出，結(jié)合韋達(dá)定理求得的值，再由三角形的面積公式可求得的面積.

（1）依題意有，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，且點(diǎn)在橢圓上，

由橢圓的定義可得，

即，，

因此，橢圓的方程為；

（2）設(shè)、，由，得．

由題意直線的斜率存在，所以設(shè)直線的方程為，

代入橢圓方程整理，得，

所以，．

將代入上式可得，，解得．

所以的面積.