Question

9．在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=AC=2，BC=2$\sqrt{3}$，M，N分別為BC，AB中點．
（I）求證：MN∥平面PAC
（II）求證：平面PBC⊥平面PAM
（III）在AC上是否存在點E，使得ME⊥平面PAC，若存在，求出ME的長，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （I）利用M，N分別為BC，AB中點，得MN∥AC，即可證明：MN∥平面PAC
（II）證明BC⊥平面PAM，即可證明：平面PBC⊥平面PAM
（III）過點M作ME⊥AC，交AC于點E，可得ME⊥平面PAC．

解答 （I）證明：因為M，N分別為BC，AB中點，
所以MN∥AC．
因為MN?平面PAC，AC?平面PAC，
所以MN∥平面PAC．…（4分）
（II）證明：因為PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
所以PA⊥BC．
因為AB=AC=2，M為BC的中點，
所以AM⊥BC．
因為AM∩PA=A，
所以BC⊥平面PAM．
因為BC?平面PBC，
所以平面PBC⊥平面PAM．…（8分）
（III）解：存在．
過點M作ME⊥AC，交AC于點E，
因為PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
所以PA⊥ME．
因為ME⊥AC，AC∩PA=A，
所以ME⊥平面PAC．
因為在△ABC中，AB=AC=2，BC=2$\sqrt{3}$，M為BC的中點，
所以ME=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．…（13分）

點評 本題考查線面平行、垂直的判定，考查面面垂直的證明，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．