Question

已知函數f（x）=alnx-（1+a）x+

1

2

x²，a∈R
（Ⅰ）當0＜a＜1時，求函數f（x）的單調區間和極值；
（Ⅱ）當x∈[

1

e

，+∞）時f（x）≥0恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=

(x-1)(x-a)

x

，
當0＜a＜1時，由f′（x）＞0可得0＜x＜a或x＞1；由f′（x）＜0可得a＜x＜1，
∴函數f（x）的單調遞增區間是（0，a），（1，+∞），單調遞減區間是（a，1），
∴x=a時，取得極大值alnz-（1+a）a+

1

2

a²，x=1時，取得極小值-

1

2

-a；
（Ⅱ）∵f（1）=-

1

2

-a，
∴顯然a＞0時，f（1）＜0，此時f（x）≥0對x∈[

1

e

，+∞）內的任意x不是恒成立的；
當a≤0時，得函數f（x）在區間[

1

e

，+∞）的極小值、也是最小值即是f（1）=-

1

2

-a，
此時只要f（1）≥0即可，解得a≤-

1

2

．