Question

設函數f（x）對任意實數x₁、x₂都滿足f（x₁）+f（x₂）=2f（）（），且f（）=0，f（x）不恒等于0，求證：
（1）f（0）=1；（2）f（x+π）=-f（x）；（3）f（x+2π）=f（x）
（4）f（x）=f（-x）； （5）f（2x）=2f²（x）-1

Answer 1

【答案】分析：觀察題設條件可以看出，本題的證明可以借助同性質的余弦函數的性質來證明．本題中各個小題之間有一定的關系，后一個的證明要充分利用前一個的結論．
（1）賦值求值，令x₁=x₂=0，得f（0）的方程，解方程求值，解出的兩個解中有一個需要排除，本小題的證明稍嫌繁瑣．
（2）利用（1）結論與題設中所給的恒等關系證明f（x+π）=-f（x）的等價形式f（x+π）+f（x）=0；
（3）利用（2）的結論證明其等價方程f（x+2π）-f（x）=0；
（4）利用（2）的結論證明其等價方程f（x）-f（-x）=0；
（5）利用（1）的結論湊成題設中的恒等式的形式進行恒等變形證其等價形式f（2x）+1=2f²（x）．
解答：證明：由題設f（x）對任意實數x₁、x₂都滿足f（x₁）+f（x₂）=2f（）（），且f（）=0，f（x）不恒等于0，
（1）令x₁=x₂=0，得f（0）+f（0）=2f（0）×f（0），即2f（0）×[f（0）-1]=0，故f（0）=0或f（0）=1，
若f（0）=0，則f（x）+f（x）=2f（x）f（0）=0，故對任意的x有f（x）═0恒成立，這與f（x）不恒等于0矛盾，
故f（0）=1；
（2）f（x+π）+f（x）=2f（x+）f（）=0，∴f（x+π）=-f（x）；
（3）由（2）的結論知f（x+2π）-f（x）=f（x+2π）+f（x+π）=2f（x+）×f（）=0，∴f（x+2π）=f（x）
（4）∵f（x）-f（-x）=f（x）+f（-x+π）=2f（x-）f（）=0，∴f（x）=f（-x）；
（5）∵f（2x）+1=f（2x）+f（0）=2f²（x），∴f（2x）=2f²（x）-1
點評：本題的考點是抽象函數的證明，在求解此類題目時，應發揮自己的想象力，看它的性質與自己熟悉的那一個函數比較類似，參考相關的函數的性質來證明這個抽象函數是破題的一個好辦法．