Question

【選修4--5；不等式選講】
設a，b，c均為正數，且a+b+c=1，證明：
（Ⅰ）ab+bc+ca≤

1

3

（Ⅱ）

a2

b

+

b2

c

+

c2

a

≥1．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意，由a+b+c=1⇒（a+b+c）²=1⇒a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca=1，利用基本不等式可得3（ab+bc+ca）≤1，從而得證；
（Ⅱ）利用基本不等式可證得：

a2

b

+b≥2a，

b2

c

+c≥2b，

c2

a

+a≥2c，三式累加即可證得結論．

解答：證明：（Ⅰ）由a²+b²≥2ab，b²+c²≥2bc，c²+a²≥2ca得：
a²+b²+c²≥ab+bc+ca，
由題設得（a+b+c）²=1，即a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca=1，
所以3（ab+bc+ca）≤1，即ab+bc+ca≤

1

3

．
（Ⅱ）因為

a2

b

+b≥2a，

b2

c

+c≥2b，

c2

a

+a≥2c，
故

a2

b

+

b2

c

+

c2

a

+（a+b+c）≥2（a+b+c），即

a2

b

+

b2

c

+

c2

a

≥a+b+c．
所以

a2

b

+

b2

c

+

c2

a

≥1．

點評：本題考查不等式的證明，突出考查基本不等式與綜合法的應用，考查推理論證能力，屬于中檔題．