Question

已知函數f(x)=lnx+

a

x

．
（Ⅰ）當a＜0時，求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若函數f（x）在[1，e]上的最小值是

3

2

，求a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出f(x)=lnx+

a

x

的導數，令導數大于0求函數的增區間，導數小于0求函數的減區間．
（Ⅱ）對a進行分類討論，分別求出各種情況下的函數在[1，e]上的最小值令其為

3

2

解方程求得a的值

解答：解：函數f(x)=lnx+

a

x

的定義域為（0，+∞），（1分）
f′(x)=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

（3分）
（Ⅰ）∵a＜0，∴f'（x）＞0，
故函數在其定義域（0，+∞）上是單調遞增的．（5分）
（Ⅱ）在[1，e]上，分如下情況討論：
1⁰當a＜1時，f'（x）＞0，函數f（x）單調遞增，其最小值為f（1）=a＜1，這與函數在[1，e]上的最小值是

3

2

相矛盾；
2⁰當a=1時，函數f（x）在（1，e]單調遞增，其最小值為f（1）=1，同樣與最小值是

3

2

相矛盾；（7分）
3⁰當1＜a＜e時，函數f（x）在[1，a）上有f'（x）＜0，單調遞減，
在（a，e]上有f'（x）＞0，單調遞增，
所以，函數f（x）的最小值為f（a）=lna+1，由lna+1=

3

2

，得a=

e

．
4⁰當a=e時，函數f（x）在[1，e）上有f'（x）＜0，單調遞減，
其最小值為f（e）=225，還與最小值是

3

2

相矛盾；
5⁰當a＞e時，顯然函數f（x）在[1，e]上單調遞減，其最小值為f(e)=1+

a

e

＞2，仍與最小值是

3

2

相矛盾；（12分）
綜上所述，a的值為

e

．（13分）

點評：本題是導數的應用題，應用層數證明單調性，求單調區間，這是導數的一個重要運用．