Question

如圖，已知三棱柱的側棱與底面垂直，且，，，，點、、分別為、、的中點．
（1）求證：平面；
（2）求證：面；
（3）求點到平面的距離.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）.

試題分析：（1）連接，利用中位線得到，然后再利用直線與平面平行的判定定理證明平面；（2）證法一是先證明，于是得到，于是得到，再證明平面，從而得到，最后利用直線與平面垂直的判定定理證明平面；證法二是先證明，得到，于是得到，再證明平面，從而得到，最后利用直線與平面垂直的判定定理證明平面；（3）利用（2）中的結論平面，結合等體積法得到
，將問題視為求三棱錐的高.
（1）證明：連接，是的中點 ，過點，
為的中點，，
又面，面，平面；
證法一：連結，連接，在直角中，，，，

，，
，，
即，
，，且，
平面，，又，故平面；
證法二：連接，在直角中，，，，
設，，，
，即，
，，且，平面,
，又，故平面，
（3）設點到平面的距離為，由（2）知平面，
，，
，
即點到平面的距離為.