Question

已知函數在x=-1時取得極值．
（1）試用含a的代數式表示b；
（2）求f（x）的單調區間．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出f′（x）=x²+2ax+b，因為函數在x=-1時取得極值，所以f′（-1）=0，即可得到a與b的關系式，表示出b即可；
（2）為函數f（x）存在極值點，所以方程f′（x）=0有兩不相等的兩實根，把b代入求出兩根，根據兩根的大小得到a的取值范圍，①當x₁＞x₂，即a＞1時和②當x₁＜x₂，即a＜1時，來討論導函數的正負得到函數的單調區間．
解答：解：（1）依題意，得f′（x）=x²+2ax+b，由于x=-1為函數的一個極值點，
則f′（-1）=1-2a+b=0，得b=2a-1；
（2）因為函數f（x）存在極值點，所以方程f′（x）=0有兩不相等的兩實根，
由（1）得f′（x）=x²+2ax+b=x²+2ax+2a-1=（x+1）（x+2a-1），
令f′（x）=0，解得x₁=-1或x₂=1-2a，
①當x₁＞x₂，即a＞1時，f′（x）與f（x）的變化情況如下表：

故函數f（x）的單調遞增區間為（-∞，1-2a）和（-1，+∞），單調遞減區間為（1-2a，-1）；
②當x₁＜x₂，即a＜1時，
同理可得函數f（x）的單調遞增區間為（-∞，-1）和（1-2a，+∞），單調遞減區間為（-1，1-2a）．
綜上所述，當a＞1時，函數f（x）的單調增區間為（-∞，1-2a）和（-1，+∞），單調減區間為（1-2a，-1）；
當a＜1時，函數f（x）的單調增區間為（-∞，-1）和（1-2a，+∞），單調減區間為（-1，1-2a）
點評：考查學生理解函數取極值的條件，會利用導數研究函數的增減性．