Question

設a＞0，b＞0，連結雙曲線

x2

4a2

-

y2

b2

=1與

y2

b2

-

x2

4a2

=1的四個頂點所成的四邊形的面積為S₁，連結兩雙曲線的四個焦點所成的四邊形面積為S₂，則

S2

S1

的最小值是（　　）

• A．4
• B．2
• C．1
• D．

  1

  2

Answer 1

分析：根據雙曲線的標準方程與基本概念，分別算出S₁、S₂關于的式子，從而得出

S2

S1

=

2(4a2+b2)

4ab

，再利用基本不等式求最值，即可得到當且僅當b=2a時

2(4a2+b2)

4ab

的最小值為2，可得答案．

解答：解：∵雙曲線

x2

4a2

-

y2

b2

=1的頂點坐標為（±2a，0）；雙曲線

y2

b2

-

x2

4a2

=1的頂點坐標為（0，±b）
∴由兩條雙曲線的四個頂點構成的四邊形面積S₁=

1

2

×4a×2b=4ab
又∵雙曲線

x2

4a2

-

y2

b2

=1與

y2

b2

-

x2

4a2

=1的焦點坐標分別（±

4a2+b2

，0）和（0，±

4a2+b2

）
∴由兩條雙曲線的四個焦點構成的四邊形面積面積S₂=

1

2

×2

4a2+b2

×2

4a2+b2

=2（4a²+b²）
由此可得

S2

S1

=

2(4a2+b2)

4ab

=

2a

b

+

b

2a

≥2

2a b • b 2a

=2，當且僅當b=2a時等號成立
∴

S2

S1

的最小值是2
故選：B

點評：本題給出兩個雙曲線互為共軛雙曲線，求以它們的四個頂點構成的四邊形面積與以它們四個焦點構成的四邊形面積之比的問題，著重考查了雙曲線的標準方程與簡單幾何性質、基本不等式求最值等知識，屬于中檔題．