Question

已知函數f（x）=x²（ax+b）（a，b∈R）在x=2時有極值，其圖象在點（1，f（1））處的切線與直線3x+y=0平行，則函數f（x）的單調減區間為    ．

Answer 1

【答案】分析：對函數f（x）求導，根據導數的幾何意義求出ab的值確定函數f（x）的解析式，最后根據導數小于0時原函數單調遞減可得答案．
解答：解：由函數f（x）=x²（ax+b）在x=2處取得極值
則 f'（2）=12a+4b=0
由圖象在點（1，f（1））處的切線與直線3x+y=0平行
則 f'（1）=3a+2b=-3
聯立解得 a=1，b=-3
代入，得 f（x）=x²（ax+b）=x³-3x²
此函數的定義域為（-∞，∞）
f'（x）=3x²-6x
令f'（x）=0，解得 x₁=0，x₂=2
由x₁=0，x₂=2將（-∞，∞）分成三個區間（-∞，0），（0，2），（2，∞）；
在區間（-∞，0）和（2，∞）上f′（x）＞0，所以函數f（x）在區間（-∞，0]和[2，∞）上是單調增加的；
在區間（0，2）上f′（x）＜0，所以函數f（x）在區間（0，2）上是單調減少的
故答案為：（0，2）
點評：本題主要考查函數的單調性與其導函數的正負之間的關系，即當導數大于0時原函數單調遞增，當導數小于0時原函數單調遞減．