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已知向量
a
=(cosα，sinα)，
b
=(cosβ，sinβ)，并且滿足關系：|k
a
+
b
|  =
3
|
a
-k
b
|  (k＞0)，則
a
與
b
的夾角最大值為（　　）
分析：通過|
a
|=|
b
|=1且|k
a
+
b
|=
3
|
a
-k
b
|，兩邊平方化簡可得化簡可得數量積的表達式，設
a
與
b
夾角為θ，根據向量的夾角公式可得cosθ=
a
•
b
|
a
||
b
|
，得到關于k的表達式，利用二次函數的性質可求．
解答：解：由題意，|
a
|=|
b
|=1且|k
a
+
b
|=
3
|
a
-k
b
|，
所以(k
a
+
b
)2=3(
a
-k
b
)2，
化簡可得4k
a
•
b
=k2+1，
∴
a
•
b
=
k2+1
4k
(k＞0)；
設
a
與
b
夾角為θ，
則cosθ=
a
•
b
|
a
||
b
|
=
k2+1
4k
=
k
4
+
1
4k
=(
k
2
)2+(
1
2
k
)2
=(
k
2
-
1
2
k
)2+
1
2
≥
1
2

因此，當且僅當
k
2
=
1
2
k
即k=1時，cosθ有最小值為
1
2
，
此時，向量
a
與
b
的夾角有最大值為60°．
點評：本題考查了平面向量的數量積的性質：|
a
|=
a
2
，考查了向量的夾角公式與二次函數的綜合應用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=(-cosα，1+sinα)，
b
=(2sin2
α
2
，sinα)．
（Ⅰ）若|
a
+
b
|=
3
，求sin2α的值；
（Ⅱ）設
c
=(cosα，2)，求(
a
+
c
)•
b
的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=(cosωx-sinωx，sinωx)，
b
=(-cosωx-sinωx，2
3
cosωx)，其中ω＞0，且函數f(x)=
a
•
b
+λ（λ為常數）的最小正周期為π．
（Ⅰ）求函數y=f（x）的圖象的對稱軸；
（Ⅱ）若函數y=f（x）的圖象經過點(
π
4
，0)，求函數y=f（x）在區間[0，
5π
12
]上的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=(cos
θ
2
，sin
θ
2
)，
b
=(2，1)，且
a
⊥
b
．
（1）求tanθ的值；
（2 ）求
cos2θ
2
cos(
π
4
+θ)•sinθ
的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=(cos(ωx-
π
6
)，  sin(ωx-
π
4
))，  
b
=(sin(
2
3
π-ωx)， sin(ωx+
π
4
))（其中ω＞0）．若函數f(x)=2
a
•
b
-1的圖象相鄰對稱軸間距離為
π
2
．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）在[-
π
12
，  
π
2
]上的值域．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=(cosθ，sinθ)，
b=
(cos2θ-1，sin2θ)，
c
=(cos2θ，sin2θ-
3
)．其中θ≠kπ，k∈Z．
（1）求證：
a
⊥
b
；
（2）設f(θ)=
a
•
c
，且θ∈(0，π)，求f(θ)的值域．

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