Question

已知函數f（x）=

1

12

x³-

1

4

x²+cx+d（c，d∈R），滿足f（0）=0，f′（1）=0
（1）求c，d的值；
（2）若h（x）=

3

4

x²-bx+

b

2

-

1

4

，解不等式f′（x）+h（x）＜0；
（3）是否存在實數m，使函數g（x）=f′（x）-mx在區間[m，m+2]上有最小值-5？若存在，求出實數m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：導數的運算,利用導數求閉區間上函數的最值

專題：導數的綜合應用

分析：（1）由f（0）=0，f′（1）=0列出兩個方程，解出c、d的值；
（2）由（1）得f′（x），代入不等式化簡后，根據一元二次不等式解法，利用對應方程的兩個根的大小關系進行分類討論，分別求出不等式的解集；
（3）由（1）得f′（x）代入g（x）=f′（x）-mx化簡，利用二次函數的對稱軸和區間，對m進行分類討論，分別有二次函數的最值列出方程求出m的值．

解答： 解：（1）∵f（0）=0，∴d=0，
∵f′（x）=

1

4

x²-

1

2

x+c，f′（1）=0，
∴

1

4

-

1

2

+c=0，解得c=

1

4

；
（2）由（1）得，f′（x）=

1

4

x²-

1

2

x+

1

4

，
∵h（x）=

3

4

x²-bx+

b

2

-

1

4

，
∴f′（x）+h（x）＜0為：

1

4

x²-

1

2

x+

1

4

+

3

4

x²-bx+

b

2

-

1

4

＜0，
化簡得x2-(b+

1

2

)x+

b

2

＜0，即(x-b)(x-

1

2

)＜0，
當b=

1

2

時，解集是∅，
當b＞

1

2

時，解集是（

1

2

，b），
當b＜

1

2

時，解集是（b，

1

2

）；
（3）由（1）得，f′（x）=

1

4

x²-

1

2

x+

1

4

，
∴g（x）=f′（x）-mx=

1

4

x²-（

1

2

+m）x+

1

4

，
該函數圖象開口向上，且對稱軸為x=2m+1．
假設存在實數m使函數g（x）=

1

4

x²-（

1

2

+m）x+

1

4

在區間[m，m+2]上有最小值-5，
①當m＜-1時，2m+1＜m，函數g（x）在區間[m，m+2]上是遞增的．
∴g（m）=-5，即

1

4

m2-(

1

2

+m)m+

1

4

=-5，
解得m=-3或m=

7

3

＞-1，則m=-3，
②當-1≤m＜1時，m≤2m+1＜m+2時，
∵函數g（x）在區間[m，2m+1]上是遞減的，在區間[2m+1，m+2]上是遞增的，
∴g（2m+1）=-5，即

1

4

(2m+1)2-(

1

2

+m)(2m+1)+

1

4

=-5，
解得m=-

1

2

-

1

2

21

或m=-

1

2

+

1

2

21

（都舍去）；
③當m≥1時，2m+1≥m+2，函數g（x）在區間[m，m+2]上遞減，
∴g（m+2）=-5，即

1

4

(m+2)2-(

1

2

+m)(m+2)+

1

4

=-5，
解得m=-1+2

2

或m=-1-2

2

＜0，則m=-1+2

2

，
綜上可得，當m=-3或m=-1+2

2

時，函數g（x）=f′（x）-mx在區間[m，m+2]上有最小值-5．

點評：本題考查導數的綜合運用，具體包含導數的計算、恒成立問題、不等式的解法、待定系數法求函數解析式、二次函數最值問題，分類討論思想，對學生有一定的能力要求，屬于難題．