Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁，A₁在底面ABC上的射影恰為AC的中點D，∠BCA=90°，AC=BC=2，又知BA₁⊥AC₁
（1）求證：AC₁⊥平面A₁BC；
（2）求二面角A-A₁B-C的余弦值的大小．

Answer 1

分析：（1）根據題意可知BC⊥AC，而A₁D⊥底ABC，所以A₁D⊥BC，A₁D∩AC=D，從而BC⊥面A₁AC，則BC⊥AC₁，又因為BA₁⊥AC₁，BA₁∩BC=B，
滿足線面垂直的判定定理，從而AC₁⊥底A₁BC；
（2）設AC₁∩A₁C=O，作OE⊥A₁B于E，連AE，由（1）所以A₁B⊥AE，根據二面角的平面角的定義可知∠AEO為二面角平面角，在Rt△A₁BC中求出OE，AO，AE，從而求出二面角余弦．

解答：解：（1）證明：∠BCA=90°得BC⊥AC，因為A₁D⊥底ABC，
所以A₁D⊥BC，A₁D∩AC=D，所以BC⊥面A₁AC，
所以BC⊥AC₁（3分）
因為BA₁⊥AC₁，BA₁∩BC=B，
所以AC₁⊥底A₁BC（1分）
（2）設AC₁∩A₁C=O，作OE⊥A₁B于E，連AE，由（1）
所以A₁B⊥AE，所以∠AEO為二面角平面角，（2分）
在Rt△A₁BC中OE=

2

2

，AO=

3

，AE=

14

2

，
所以cosα=

7

7

，所以二面角余弦

7

7

點評：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，以及二面角的度量等有關問題，同時考查了數形結合、化歸與轉化的數學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力，屬于中檔題．