Question

已知函數y=ax³-15x²+36x-24，x∈[0，4]在x=3處有極值，則函數的最大值是    ．

Answer 1

【答案】分析：先求出函數的導數，由函數在x=3處有極值得f^/（3）=0，解關于a的方程，得出a的值，再根據導數的正負得出函數在區間[0，4]的單調區間，從而得出函數在區間[0，4]的最大值．
解答：解：由函數y=ax³-15x²+36x-24，x∈[0，4]
得：y^/=3ax²-30x+36
∵函數在x=3處有極值
∴f^/（3）=27a-54=0
故a=2，函數表達式為y=2x³-15x²+36x-24
∴f^/（x）=6x²-30x+36=6（x-2）（x-3）
由f^/（x）＞0得x＜2，x＞3，所以函數在（0，2）和（3，4）上為增函數；
由f^/（x）＜0得2＜x＜3，所以函數在（2，3）上為減函數
所以函數的最大值為f（2）與f（4）中較大的一個
而f（2）=4＜f（4）=8
所以函數的最大值是8
故答案為：8
點評：本題考查運用導數討論函數的單調性，來求函數在閉區間上的最值，屬于中檔題．