Question

【題目】設函數f（x）=ax﹣（m﹣2）a﹣x （a＞0且a≠1）是定義域為R的奇函數．
（1）求m的值；
（2）若f（1）＜0，試判斷y=f（x）的單調性，并求使不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＜0恒成立的t的取值范圍；
（3）若f（1）= ，g（x）=a2x+a﹣2x﹣2f（x），求g（x）在[1，+∞）上的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）是定義域為R的奇函數，

可得f（0）=0，即a0﹣（m﹣2）a0=0，

即3﹣m=0，可得m=3

（2）解：f（1）＜0，即a﹣a﹣1＜0，

解得0＜a＜1．

由ax遞減，a﹣x遞增，

可得f（x）=ax﹣a﹣x在R上遞減，

不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＜0，

即為不等式f（x2+tx）＜﹣f（4﹣x）=f（x﹣4），

即有x2+tx＞x﹣4，即x2+（t﹣1）x+4＞0恒成立，

則△=（t﹣1）2﹣16＜0，

解得﹣3＜t＜5．

即t的取值范圍是（﹣3，5）

（3）解：若f（1）= ，即a﹣a﹣1= ，

解得a=2．

則g（x）=22x+2﹣2x﹣2（2x﹣2﹣x），

令t=2x﹣2﹣x，由x≥1可得t≥ ．

則函數y=t2﹣2t+2=（t﹣1）2+1，

且在[ ，+∞）遞增，

可得g（x）在[1，+∞）上的最小值為（ ﹣1）2+1=

【解析】（1）由題意可得f（0）=0，解方程可得m=3；（2）由f（1）＜0，可得0＜a＜1，判斷f（x）遞減，不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＜0轉化為x2+（t﹣1）x+4＞0恒成立，
由判別式小于0，解不等式即可得到t的范圍；（3）f（1）= ，可得a=2，求出g（x）的解析式，令t=2x﹣2﹣x ， 由x≥1可得t≥ ．可得函數y=t2﹣2t+2=（t﹣1）2+1，運用二次函數的單調性，可得所求最小值．
【考點精析】本題主要考查了函數單調性的判斷方法和函數的奇偶性的相關知識點，需要掌握單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱才能正確解答此題．