Question

證明正三棱柱的兩個側面的異面對角線互相垂直的充要條件是它的底面邊長與側棱長的比為

2

：1．

Answer 1

分析：因為正三棱柱，所以底面是正三角形，根據兩個側面的異面對角線互相垂直即可求得．

解答：證明：如圖，以正三棱柱的頂點O為原點，棱OC、OB為y軸、z軸，建立空間直角坐標系，設正三棱柱底面邊長與棱長分別為2a、b，則A（

3

a，a，b）、B（0，0，b）、C（0，2a，0）．因為異面對角線OA⊥BC?

OA

•

BC

=0?（

3

a，a，b）•（0，2a，-b）=2a²-b²=0?b=

2

a，即2a：b=

2

：1，所以OA⊥BC的充要條件是它的底面邊長與側棱長的比為

2

：1．

點評：此題考查學生運用空間向量解決立體幾何的能力．考查學生的空間想象能力和計算能力．