Question

中心在原點，焦點在x軸上的橢圓C的離心率為

2

2

，且經過點P(1，

2

2

)．
（1）求C的標準方程；
（2）直線l與C交于A、B兩點，M為AB中點，且AB=2MP．請問直線l是否經過某個定點，如果經過定點，求出點的坐標；如果不過定點，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由 e=

2

2

，設C標準方程，代入(1，

2

2

)，可得a²=2，從而可得C的方程；
（2）若l斜率存在，設l方程為y=kx+b代入橢圓方程整理，利用韋達定理，由AB=2MP得AP⊥PB，即

PA

•

PB

=0，由此可得k，b的關系，從而可得結論；若l斜率不存在，驗證即可．

解答：解：（1）由 e=

2

2

，設C標準方程為

x2

a2

+

2y2

a2

=1(a＞0)代入(1，

2

2

)，可得

1

a2

+

1

a2

=1，∴a²=2，
∴C的方程為

x2

2

+y2=1
（2）若l斜率存在，設AB坐標A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設l方程為y=kx+b代入橢圓方程整理得：（2k²+1）x²+4kbx+2b²-2=0，∴x1+x2=

-4kb

(2k2+1)

，x1x2=

2b2-2

(2k2+1)

，
由AB=2MP得AP⊥PB，即

PA

•

PB

=0，則(x1-1，y1-

2

2

)•(x2-1，y2-

2

2

)=0，
即x1x2-(x1+x2)+1+y1y2-

2

2

(y1+y2)+

1

2

=0∵y1+y2=k(x1+x2)+2b，y1y2=k2x1x2+kb(x1+x2)+b2 
代入化簡得k2+4kb+3b2-

2

b-

1

2

=0，k=-2b±(b+

2

2

)，k+b=

2

2

或

k

3

+b=-

2

6

，
若k+b=

2

2

，則過定點(1，

2

2

)，不合題意，舍去；
若

k

3

+b=-

2

6

，則過定點(

1

3

，-

2

6

)；
若l斜率不存在，通過(

1

3

，-

2

6

)，
綜上所述，l通過定點，此點坐標為(

1

3

，-

2

6

)．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，考查分類討論的數學思想，正確運用韋達定理是關鍵．